Vamos a hablar de cálculo de funciones de una variable real. Este tema trata de cálculo diferencial (derivadas) y cálculo integral (integrales).
Si bien no voy a entrar en las definiciones formales de cada una (porque no vamos a resolver ejercicios ni nada de eso) es importante saber para qué sirven y entenderlo de una manera muy simple.
Es necesario empezar hablando de FUNCIÓN. Una función, básicamente en términos sencillos, es algo en donde ingresamos un valor de entrada, se PROCESA LA INFORMACIÓN y devuelve otro valor.
Un ejemplo sería la distancia en función del tiempo. Es decir, cuánta distancia se recorre en un tiempo determinado. Esta función tiene dos variables, la distancia y el tiempo.
Si tenemos un valor de entrada que es 5 segundos, se introduce en una función, se procesa la información y devuelve, por ejemplo, 10 metros. Entonces con las funciones podemos obtener datos.
Nos interesa saber para qué sirven las derivadas. Las derivadas se aplican sobre las funciones y nos dan información muy importante. Tenemos una función y aplicamos operaciones matemáticas para obtener la derivada que es una NUEVA FUNCIÓN diferente a la original que teníamos.
Podemos encontrar la derivada y calcular punto a punto, evaluando y encontrando todos sus puntos. Su pendiente nos da información, puede crecer (pendiente positiva) o decrecer (pendiente negativa) en cada intervalo, y se representa por medio de la recta tangente.
Una derivada es una función que nos dice la RAPIDEZ con que cambia una variable con respecto a la otra. En el ejemplo de la distancia y el tiempo, si aplicamos las operaciones para obtener la derivada nos da como resultado la VELOCIDAD.
Entonces, si tenemos la distancia que se movió un objeto y sabemos en cuánto tiempo se movió, también podemos saber la velocidad que llevaba este objeto cuando se estaba moviendo. Este es un ejemplo del tipo de información que nos dan las derivadas.
No sólo nos sirve para saber la velocidad del objeto, también podemos obtener la ACELERACIÓN (el cambio de velocidad entre dos momentos diferentes), es decir la TASA DE CAMBIO de una variable con respecto a la otra.
Podemos utilizarlas en muchas situaciones diferentes para obtener datos. Con las derivadas podemos saber: la velocidad de un objeto, la aceleración, la fuerza, energía potencial, energía cinética, superficie de un área, intensidad de la corriente, la densidad de una masa, etc.
Incluso para optimización de recursos, por ejemplo, saber cuánto tenemos que invertir en una empresa para maximizar las ganancias o cuántos productos debemos fabricar para obtener el mínimo costo por unidad. También, cuánto tiempo de durabilidad tiene un material específico.
Todo esto incluye áreas como economía, arquitectura, todas las ingenierías, biología, etc. Se enseña en la mayoría de las carreras porque son las bases fundamentales de matemática para resolver problemas.
Si esto no existiese no tendríamos muchas de las cosas que tenemos hoy, como el celular o computadora. Poder obtener datos mediante cálculos matemáticos hace posible el avance de la tecnología y así el progreso de la sociedad.
Ahora, integrales. En matemática siempre tenemos operaciones opuestas. La suma y la resta, la multiplicación y división, potencia y raíz, derivadas e integrales (también conocidas como antiderivadas). Todas son herramientas matemáticas para poder manipular información.
Newton y Leibniz introdujeron las primeras definiciones del concepto de integral pero fue Riemann quien nos dio la definición moderna de la integral definida. Las sumas de Riemann es la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos que están sobre y bajo el eje x.
La integral o antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, encontrar una función que al ser derivada produce la función dada
Es el área bajo la curva que se forma por el trazo de una función y el eje x, dividiendo el área en rectángulos.
Las integrales sirven para obtener otros datos, como por ejemplo en las construcciones los ingenieros y arquitectos obtienen el área de superficies irregulares, en una empresa con el costo marginal pueden hallar el costo total.
En medicina, para encontrar el ángulo de ramificación óptimo en los vasos sanguíneos. También en electrónica para calcular corrientes, capacitancias, tiempos de carga y descarga de corriente. En informática para fabricar componentes y el desarrollo de la inteligencia artificial.
Pero sobre todo, el cálculo y en sí la enseñanza de la matemática sirve para que las áreas del cerebro asociadas al razonamiento y a la lógica, se desarrollen, pudiendo darnos a cada uno la capacidad de desenvolvernos en la carrera que elijamos estudiar o en la vida cotidiana.
